ЕГО ИМЯ НЕ БУДЕТ ЗАБЫТО"

К 170-летию со дня рождения Феликса Клейна

Феликс Христиан Клейн (Felix Christian Klein) родился 25 апреля 1849 г. в Дюссельдорфе в семье чиновника. Отец Феликса принадлежал к старой прусской фамилии. От неё он унаследовал твердую волю и настойчивость, трудолюбие и прилежание, здравый смысл и бережливость, а также безусловную надежность и верность долгу. Не очень крепкое здоровье отца не позволило ему продолжить кузнечное дело его семьи, и он стал госслужащим – в момент рождения Феликса работал секретарем президента правительства.

Мать Клейна была родом из Ахена и представляла собой полную противоположность отцу. Её повышенная чувствительность нередко переходила в раздражительность и приводила к нервным срывам. Унаследовав от матери неустойчивую нервную систему, от подобных приступов страдал всю жизнь и её сын. Во второй половине жизни из-за этих проблем со здоровьем он даже перестал заниматься собственно математикой, сконцентрировав все силы на организации научной жизни в Гёттингене.

В начальную школу Феликс пошёл в шесть лет. Сказались уроки матери, рано научившей сына читать, писать и считать. Через два с половиной года мальчик перешел в гимназию, где основной упор делался на гуманитарные предметы. Как отмечал Клейн в «Автобиографии», в гимназии учили работать и ещё раз работать, гораздо меньше внимания обращали на смысл проделанного. Например, он до конца жизни помнил, как безошибочно перевёл на греческий язык довольно большое число строк поэмы Шиллера, хотя вряд ли тогда понимал глубокое содержание стихов и их поэтическую ценность. Восемь лет учебы в гимназии остались в памяти Клейна не очень счастливыми. Знания по своим любимым предметам - физике и математике, которым решил посвятить жизнь, он получал не в классе, а в результате самостоятельных занятий и с помощью старших товарищей.

Осенью 1865 года, в возрасте шестнадцати с половиной лет, Клейн поступил в Боннский университет, чтобы вплотную заняться математикой и естественными науками. Среди его преподавателей выделялся знаменитый математик Липшиц, но его значение как ученого Феликс смог оценить только позже. На слишком элементарных лекциях Липшица Клейн откровенно скучал. Лекции других преподавателей он и вовсе пропускал.

Его учителем был Юлиус Плюккер. Вначале Феликс планировал стать физиком. Ещё студентом он становится ассистентом Плюккера. Общение с выдающимся геометром оказало глубокое воздействие на Клейна, который навсегда сохранил вкус к конкретным постановкам проблем, использовал связи математики с естествознанием.

Учитель Клейна Юлиус Плюккер начинал свою научную деятельность как геометр, но постепенно переключился на занятия экспериментальной физикой. Однако в последние годы жизни, после двадцатилетнего перерыва, он возвратился к геометрии. «Этот поворот сыграл решающую роль в моём собственном развитии» - писал впоследствии ассистент Плюккера по физике Ф. Клейн. Диссертация Клейна (1868 г.), которой он «заслужил рыцарские шпоры», была по геометрии.

В 1868г. Ю.Плюккер умирает, и на плечи Клейна легли заботы по подготовке к печати рукописей учителя. Отсюда начинается самостоятельная работа Клейна в области геометрии.

Как раз в то время, когда Клейн вошел в число учеников Клебша, того назначили профессором Гёттингенского университета. Ученик без колебаний последовал за своим новым учителем.

Осенью 1869 г. Клейн отправился в Берлин, где познакомился с Альфредом Клебшем, известным многими результатами в математической физике и алгебраической геометрии, и стал его учеником. Главой математической школы Берлина являлся Карл Вейерштрасс, считавший недопустимым смешение прикладной и чистой математики. И отношения между мэтрами и учениками в столице Феликс нашел не такими сердечными и непосредственными, как в Гёттингене. Клейн с удовольствием посещал семинар, руководимый Вейерштрассом, но личные отношения между двумя учеными не сложились.

Зато Феликс нашел в Берлине настоящего единомышленника и друга – норвежского геометра Софуса Ли, который был на шесть лет старше Клейна. В напряженных и результативных обсуждениях с Ли проблем геометрии проводил Клейн свое основное время в Берлине.

В 1870г., когда ему было 22 года, он с Софусом Ли побывал в Париже, где познакомились с Дарбу. Молодые люди встречались с Камиллом Жорданом, изучали его "Трактат о подставках", который только что вышел из печати. Именно по этой книге они познакомились с группами подстановок и с теорией Галуа. Их интересы разделились: Клейна в большей мере заинтересовали дискретные группы, а Ли – непрерывные. Клейн поддерживал с Ли самый тесный личный и научный контакт вплоть до смерти Ли в 1899 году.

В июле 1870 года между Францией и Пруссией началась война. Клейна как подданного враждебного государства собирались арестовать, но он сумел, проявив немалую находчивость и расторопность, вовремя пересечь франко-немецкую границу и вернуться в Германию, где чуть не становится жертвой спутника войны — эпидемии тифа.

Софусу Ли повезло меньше: при попытке выехать на родину в Норвегию его остановили пограничники, нашли при нем письма Клейна, написанные на немецком и полные загадочных математических значков, и решили, что перед ними немецкий шпион. Ли поместили в тюрьму, где он промучился четыре недели, пока его по ходатайству Дарбу не освободили.

Следуя своему жизненному принципу участвовать во всех крупных событиях, Клейн записался добровольцем в боннский вспомогательный корпус и отправился с ним к местам сражений. Вся военная служба Феликса, по его словам, оказалась цепью сплошных разочарований. Не имея практических навыков военной службы, он оказался не готовым вынести все тяготы трехнедельного сидения в окопах близ Седана и заболел тифом. В тяжелом состоянии его отправили домой, к родителям, где он долго болел, но все же выздоровел и вернулся к научной работе.

Новый 1871 год Клейн встречал в Гёттингене, где уже в январе защитил свою вторую докторскую работу и получил звание приват-доцента. В этот момент ему еще не исполнилось и двадцати двух лет. На этот период приходится встреча с гёттингенским профессором Морицем Штерном, дружба с которым продолжалась долгие годы. Именно его место займет через пятнадцать лет Феликс Клейн, когда Штерн закончит период своей активной профессорской деятельности.

По рекомендации профессора Клебша, бывшего в то время ректором гёттингенского университета, Клейн получил приглашение занять должность ординарного профессора математики в городе Эрланген.

От такого предложения Клейн не смог отказаться. Стать ординариусом в двадцать три года мало кому удавалось. На первую лекцию нового профессора, которая состоялась 5 ноября 1872 года, пришли всего два студента, одного из которых Клейн еще пару раз видел, а второй после первой лекции вообще исчез навсегда. Из-за отсутствия слушателей само продолжение курса оставалось под большим сомнением.

Через два дня после первой лекции Клейна в Эрлангене пришло печальное сообщение из Гёттингена: от дифтерита неожиданно умер профессор Клебш, на поддержку которого Клейн очень рассчитывал. Молодой эрлангенский профессор взял на себя ответственность за развитие творческого наследия и реализацию не воплощенных замыслов своего учителя. Сложившаяся к тому времени школа Клебша, его студенты, аспиранты, ассистенты увидели в Клейне своего нового руководителя и потянулись из Гёттингена в Эрланген, чтобы продолжать там учебу и научную работу. Многие ученики Клейна оказались старше его по возрасту. Так неожиданно решилась проблема посещаемости – на лекциях Клейна появились постоянные слушатели, хотя их общее число редко превышало десяток. Тематика научных занятий Феликса тоже определилась на несколько лет вперед.

В Эрлангенском университете существовала традиция, чтобы каждый новый профессор или доцент выступал перед большой аудиторией с программной речью, в которой знакомил коллег-преподавателей и студентов с целями своей педагогической деятельности. Феликс Клейн подготовил в октябре 1872г. яркую и эмоциональную речь, вошедшую в историю под названием «Эрлангенская программа».

В этой лекции дана картина дальнейшего развития математики. Идеи этой программы сначала были приняты отнюдь не всеми. Затем они завоевали большую популярность и теперь рассматриваются как само собой очевидные факты. Но такова участь всех больших научных открытий.

В 1875 году Клейн женился на Анне Гегель, внучке знаменитого философа Георга Гегеля, а в следующем году совместно с Адольфом Майером становится главным редактором журнала «Mathematische Annalen».

Следующие 10-12 лет Клейн интенсивно работает в целом ряде областей математики. Диапазон его работ простирается от неевклидовой геометрии, где он впервые поставил на твердую почву геометрию Лобачевского, до теории алгебраических уравнений и эллиптических функций.

Постепенно научная жизнь в Эрлангенском университете налаживалась, она все более напоминала ту, которую Клейн оставил в его любимом Гёттингене. Правда, масштабы Эрлангена не сопоставимы с большими научными центрами. Поэтому, когда весной 1875 года Клейну предложили место профессора в Техническом университете Мюнхена, он охотно согласился.

Он организовал в Мюнхене так называемый «Математический кружок», где встречались математики и представители крупной промышленности и бизнеса. Кружок представлял для своего времени новую форму научного общения.

В Мюнхене у Феликса из-за чрезмерной нагрузки появились первые признаки нервной болезни. Из-за начинающихся проблем со здоровьем, а также из-за желания сконцентрироваться на своем любимом разделе математики, осенью 1880 года Клейн принял предложение занять место профессора геометрии в Лейпциге.

Отношения с коллегами в Лейпциге складывались не всегда гладко, очень уж радикально новый путь развития математики предлагал профессор-геометр. К этому Клейн относился спокойно, так как прекрасно сознавал, что новые идеи редко принимаются единогласно. Тем более сам возмутитель спокойствия оставался все еще юн: к началу работы в Лейпциге Клейну исполнилось всего тридцать один год.

Клейн занимался построением теории автоморфных функций – так называемой проблемой униформизации. Рассматривая важные частные случаи, он надеялся со временем разобраться и с общей задачей. Но в 1881 году он обнаружил серию статей никому не известного французского математика Анри Пуанкаре (1854 – 1912), который по существу проблему решил.

Это драматическое событие Клейн встретил достойно. Он начал переписку с Пуанкаре; они обменялись 26 письмами. Клейн, уже известный математик (хотя только на 5 лет старший Пуанкаре), выступает в роли очень тактичного учителя. Он знакомит Пуанкаре с теорией Римана, о которой тот не имел представления, но мгновенно усвоил.

Клейн решается на соревнование с Пуанкаре: улучшает доказательство основного результата и намечает его обобщение. Эта история окончилась для Клейна печально. В 1882г. его постигла катастрофа: соперничая с А.Пуанкаре, он тяжело заболел и вынужден был навсегда прекратить научную работу. «Цена, которую мне пришлось заплатить за мои работы, – писал он – была во всяком случае очень велика, так как мое здоровье оказалось совершенно расшатанным. . . Только к осени 1884 года положение несколько улучшилось, но прежней степени творческой активности я уже не достиг никогда... Моя собственная творческая деятельность в области теоретической математики закончилась в 1882 году».

Большую тревогу вызывало здоровье ученого: из-за нервного истощения Клейн несколько раз отказывался от уже начатых новых проектов, а осенью 1882 года взял дополнительный отпуск. Клейн страдал от постоянных депрессий.

Первый проблеск надежды, что болезнь отступит, появился во время его поездки в 1884 году в Америку, где в Балтиморском университете ему предложили занять место знаменитого математика Сильвестра. И хотя после многочисленных переговоров от места пришлось все же отказаться, у Клейна появилась уверенность, что он ещё сможет продолжить любимое дело.

Лекции Клейна пользовались исключительным успехом. Известный математик Людвиг Бибербах, описывая свои первые шаги в науке, рассказал о том, как он первый раз попал на лекцию Клейна по анализу эллиптических функций. Бибербах приехал в Гёттинген, чтобы слушать лекции Минковского по новому разделу алгебры - теории инвариантов. Однако мастерство Клейна так увлекло юношу, что он с тех пор не раз повторял слова Фауста «две души живут в груди моей»: одна отдана алгебре, другая анализу.

Теперь его интересы переключились на педагогическую, литературную, организационную и общественную деятельности.

Клейн был красивым человеком с тёмными волосами и чёрной бородой, со "светящимися" глазами. Его лекции почитались всеми и распространялись даже в Америке.

В 1882-1898 гг. были изданы монографии Клейна по римановой теории функций, по теории икосаэдра, по теории эллиптических модулярных функций, по теории автоморфных функций (последние две — совместно с Р.Фрикке), работа по теории волчка (совместно с А.Зоммерфельдом).

Когда в 1886г. Альфреда Клебша назначили профессором Гёттингенского университета, его ученик Клейн без колебаний последовал за своим новым учителем в Гёттинген, где и работал до конца жизни. На своё место профессора геометрии он рекомендовал, вероятно, лучшего геометра того времени Софуса Ли. Для Вейерштрасса назначение в Лейпциг Софуса Ли расширяло и укрепляло фронт борьбы с берлинской школой математиков.

В течение ряда лет Клейн вёл факультативные курсы по теории чисел, по технической механике и т.д. Каждый из этих курсов отличался мастерством изложения, глубиной и оригинальностью.

Интерес к технике никогда не покидал Клейна, и он хорошо чувствовал связь между математической теорией и инженерной проблемой.

Клейн обращался в Министерство просвещения с проектом приблизить университетское преподавание к интересам техники, но не получил поддержки. Он был вынужден ограничиться организацией инженерно-физического обучения лишь в Гёттингенском университете. Созданные при университете научно-исследовательские институты по электротехнике, гидромеханике, математической статистике и т.д. получили мировую известность и привлекли учёных и инженеров со всего света. Это способствовало выдвижению немецкой технической науки на одно из первых мест в мире.

Клейн полагал, что всему образованию следует придать естественнонаучный уклон, что математика должна преподаваться не как замкнутая в себе логическая дисциплина, но как составная часть общей системы человеческих знаний.

В 1889 году Клейн всячески помогал Георгу Кантору основать «Немецкое математическое общество», существующее и поныне. В 1908г. он совместно с американцем Смитом организовал международную комиссию по изучению постановки преподавания, математики во всех странах мира.

Клейн обладал поистине гигантской энергией, совмещая массу обязанностей. Более 50 лет, до самой смерти, он руководил журналом "Математические анналы", сделав его ведущим математическим журналом в мире. Более 20 лет он возглавлял издание Полного соб¬рания сочинений К.Ф.Гаусса. Требовало внимание и его членство в верхней палате прусского парламента, где он был представителем Гёттингенского университета.

С возрастом Клейн становился всё более величественным. Став тайным советником, он всегда настаивал на обращении к нему с этим титулом.

Любимая шутка среди студентов была такая: в Гёттингене есть два сорта математиков: первые делают то, что им нравится, а не то, что нравится Клейну; вторые делают то, что хочет Клейн, а не то, что они хотят. Клейн не относится ни к тем, ни к другим. Значит, Клейн не математик.

Клейн интересовался своими студентами и тратил много времени на беседы с ними. Тем не менее, он всегда оставался недосягаемым для них. В своём кругу студенты называли его "великий Феликс". В Гёттингене говорили, что на обеде в доме Клейна студент находился в таком благоговении перед хозяином, что подчас отвечал на его вопросы стоя.

Надо отметить, что с началом Первой мировой войны Клейн не участвовал в многочисленных тогда шовинистических акциях.

Герман Вейль писал: «Путь Клейна в науке можно уподобить полёту ракеты. Сверкая, она взмывает и устремляется круто вверх: в 1869-1882 г.г. Клейн заявляет о себе серией неуклонно нарастающих, необычайно интенсивных и богатых результатами исследований. Потом они вдруг начинают развёртываться вширь, и их благодатная сень простирается над ранее завоеванной территорией, появляются большие обобщающие работы, подводящие итог тому, что им было сделано, развёртывается его грандиозная практически- организационная деятельность. Поворотным пунктом становится катастрофа, приключившаяся с 33 - летним Клейном на пасху 1882 г., когда здоровье его сильно пошатнулось. Сам Клейн весьма образно поведал нам о том, как на Нордернее, уже перед самым возвращением домой, когда, мучимый приступом астмы, он просидел на тахте последнюю ночь, перед его мысленным взором вдруг предстала теорема о предельном круге. «Открытие этой теоремы, – говорил он, – по-видимому, было связано с внутренним напряжением, которое привело к крайнему обострению способности к творчеству; когда напряжение спало, я почувствовал себя совсем обессиленным». И безжалостно добавляет: «С тех пор сокровенный центр моего творческого мышления погиб навсегда». С чувством восхищения и благоговения взираем мы на колоссальную работу, дарованную миру в последующие десятилетия человеком, таившим внутри тяжёлую рану».

Говоря о своих учителях, Клейн в первую очередь называл Клебша, упоминал, что не знал лично Римана, идеи которого оказали на него большое влияние. «Я являюсь, - говорил он, - таким образом, как бы «экстерном» в отношении римановской школы, а экстерны, как известно, если берутся за какое-нибудь дело, то работают с особым рвением, ибо к работе их побуждает только глубокий внутренний интерес».

В начале 20-ых годов в Гёттингене ещё чувствовалось присутствие Клейна, напоминая скорее солнце на закате. Когда какой-нибудь молодой математик не сразу же брался развивать его идеи, Клейн гнал его со словами: "Я старик. У меня нет времени ждать".

Умер Феликс Клейн 22 июня 1925 года. Окончилась целая эпоха.

На его могиле была сделана простая надпись: "Феликс Клейн, Друг, Искренний и Неизменный".

Понятие группы является цементирующим началом всех сочинений Клейна. В своей "Эрлангенской программе" он установил ту группу изоморфных преобразований, которая может считаться подлинным принципом классификации различных геометрий.

Согласно Клейну, каждая геометрия является теорией инвариантов специальной группы преобразований. Расширяя или сужая группу, можно перейти от одного типа геометрии к другому. Евклидова геометрия - это наука об инвариантах метрической группы, проективная геометрия - наука об инвариантах проективной группы. Классификация групп преобразований даёт классификацию геометрий. Опираясь на исследования Э.Бельтрами, Клейн строго доказал непротиворечивость неевклидовой геометрии. Он построил пример односторонней поверхности – "бутылку Клейна".

Что же представляет собой "бутылка Клейна"? Мечта средневекового алхимика - это мистический совершенный герметичный сосуд, где внешнее переходит во внутреннее и внутреннее во внешнее, который содержит сам себя и переходит сам в себя, у которого внутреннее и внешнее парадоксально едино ... Всё это чем-то напоминает змею, свернувшуюся в кольцо и заглатывающую свой собственный хвост.

Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.

С точки зрения математики "бутылка Клейна" - это замкнутая (т.е. без края) односторонняя поверхность. А с точки зрения физики? Как представить себе, на что похожа поразительная "бутылка" в реальности? Оказывается, невозможно построить абсолютно правильную модель этого объекта в нашем трехмерном мире: здесь будет наблюдаться пересечение поверхности, что напрочь отсутствует в четырехмерном измерении.

Вывод: истинная "бутылка Клейна" может существовать только в четырехмерном измерении!

Английский математик Артур Кэли (1821 – 1895), долгое время занимался математикой без отрыва от адвокатской практики. Он заметил, что евклидовы перемещения выделяются из всех проективных преобразований тем, что сохраняют циклические точки. Кэли пишет: «Метрическая геометрия есть, таким образом, часть дескриптивной, а дескриптивная геометрия — вся геометрия». Следует иметь в виду, что раньше положение казалось прямо противоположным, а именно, что проективная геометрия — сравнительно бедная часть евклидовой.

В 1869 году Клейн познакомился с теорией Кэли, а в конце того же года — довольно поверхностно — с геометрией Лобачевского. Тотчас же у него возникла мысль, что одна из метрик Кэли приводит к геометрии Лобачевского. Это была догадка, почти лишенная аргументации.

В феврале 1870 года Клейн, делая доклад по теории Кэли на семинаре Вейерштрасса, решился обнародовать свою гипотезу. На этом семинаре было не принято обсуждать фантастические проекты: «зарвавшемуся» молодому человеку объяснили, что «это две далеко отстоящие друг от друга системы»; Клейн же был столь мало подготовлен к защите своей гипотезы, что «позволил переубедить себя». Позднее он жаловался на Вейерштрасса, что у того «не было склонности распознавать с отдаления очертания ещё не достигнутых высот».

Только в 1870г. идея неевклидовых геометрий получила полное признание. Произошло это после того, как 21-летний Клейн обнаружил в одной работе А.Кэли "модель", позволяющую отождествлять исходные объекты и соотношения неевклидовой геометрии с некоторыми объектами и соотношениями евклидовой геометрии (интерпретация Кэли - Клейна). Этим он доказал, что неевклидова геометрия непротиворечива в той же мере, что и евклидова, – противоречие в одной из них необходимо влечёт противоречие в другой. Невозможность доказательства постулата параллельных прямых стала, наконец, столь же истинной, как и любой другой математический факт. Н. Бурбаки писали, что Клейн завершил «золотой век» геометрии.

Еще в XVII веке Дезаргу (1593 – 1662) и Паскалю (1623 – 1662) удалось при помощи центрального проектирования получить замечательные геометрические результаты. Об этих результатах забыли почти на полтора века. На большие возможности метода проектирования вновь обратил внимание Гаспар Монж (1746 – 1818); он рассказывал об этом в курсе начертательной геометрии, который читал в Политехнической школе. От «Описательной геометрии» Монжа (1795) и отсчитывает Н. Бурбаки «золотой век» геометрии. Среди слушателей Монжа был Виктор Понселе (1788 – 1867). «Черта, которая возвышает его над всеми предшественниками, — это новый вид геометрической интуиции, — ” проективное мышление“ » (Клейн). Проективную геометрию Понселе создал в течение двух лет, проведенных им в плену в Саратове после войны 1812 года. Свои результаты Понселе рассказывал товарищам по плену, также слушавшим Монжа в Политехнической школе. Опубликованы эти результаты были в 1822 году в «Трактате о проективных свойствах фигур».

Клейн любил говорить своим ученикам: "Чистая математика развивается, когда к решению старых проблем привлекаются новые методы. Приобретаемое таким образом лучшее понимание старых вопросов приводит к возникновению новых проблем" .

Большое значение для воспитания математиков имели его книги "Высшая геометрия", "Элементарная математика с точки зрения высшей", "Неевклидова геометрия", "Лекции о развитии математики в XIX столетии", "Лекции об икосаэдре". Большой труд вложен им в создание "Энциклопедии математических наук".

Своеобразной лебединой песней Клейна были его «Лекции о развитии математики в XIX столетии», читанные в 1914-1918 г.г. и изданные посмертно его учениками Р.Курантом и О.Нейгебауэром.

Значительную часть времени и сил Клейн потратил на разработку проблем школьного преподавания математики и подготовку учителей, чем, вероятно, до него не занимался ни один математик такого масштаба.

Лекции Клейна заслуженно признавались классическими. Как правило, примерно за час до лекции он приходил, чтобы проверить список цитируемой литературы, который по его требованию готовился его ассистентом. Это же время он использовал для чистки шероховатостей, которые могли быть в рукописи. Прежде чем начать лекцию, он продумывал план расположения формул, диаграмм, цитат. Во время лекции на доске никогда ничего не стиралось. К концу на ней оставался полный конспект лекции, каждый квадратный сантиметр доски был аккуратно заполнен.

По мнению Клейна, студенты должны были самостоятельно работать над доказательством, он давал только его общий план. Из-за этого студентам приходилось затрачивать для усвоения материала четыре часа на каждый час, проведенный на лекции. Даже старшекурсники и доценты испытывали перед Клейном благоговейный трепет.

Клейну принадлежит следующее высказывание, сделанное им в последние годы жизни: „Математика напоминает мне огромный оружейный магазин в мирное время. Витрины ломятся от великолепных образцов оружия, поражающих знатока остроумной конструкцией и искусной, радующей глаз отделкой. Первоначальное назначение всех этих предметов, созданных для достижения победы над противником, отходит столь далеко на задний план, что почти полностью изглаживается из памяти".

Наиболее яркой чертой Ф. Клейна как учёного было, стремление к сближению, соединению самых различных наук, способствующему их взаимопроникновению. Особенно плодотворными оказались связи, установленные им между различными математическими дисциплинами и типами мышления.

Клейн считал, что развитию математики более всего содействует интуитивное мышление, основанное на наглядном представлении. Тут он достигал совершенства. Но стоило провести тончайшие числовые расчёты, как Клейн отступал. К нему нельзя было отнести девиз К. Гаусса «Nil actum reputans si quid superesset agendum» («Не считать ничего сделанным, если ещё что-нибудь осталось сделать».).

Герман Вейль сказал: "... Клейн, печатью гения которого отмечена целая эпоха, продолжает оказывать мощное воздействие на современную математику, развивающуюся под знаком теории групп, топологии и абстрактной алгебры. Пламя, зажженное им,- не елейный светильник педантичной традиции, оно согревает горшки всех математических кухонь и горит в горнах всех математических кузниц, делая как великую, так и малую повседневную работу. Его труды продолжают воздействовать на нас, его имя не будет забыто".

Европейское математическое общество и Технологический университет Кайзерслаутерна учредили в 2000 году приз имени Феликса Клейна. Приз присуждается молодым математикам Европы в ходе Европейского математического конгресса (каждые 4 года) за практически полезные работы в области прикладной математики.

Международная комиссия по математическому образованию учредила медаль Феликса Клейна. Ещё при жизни Клейна вышел трёхтомник его Собрания сочинений.

Именем Феликса Клейна названы: математический центр в Германии, кратер на обратной стороне Луны.

Однажды он сказал:

• В основных исследованиях в области математики не может быть окончательного завершения, а вместе с тем и окончательного первого начала.

• В ряду гениальных представителей, нашей науки только два великих предшественника Гаусса - Архимед и Ньютон - были столь же щедро одарены природой, как он. И подобно этим двум, Гаусс жил достаточно долго и имел возможность полностью проявить все заложенные в нём силы.

• Гаусс в полном смысле этого слова создал современную теорию чисел и предопределил всё её дальнейшее развитие до нынешнего дня.

Рассказывают, что...

• В книге «Я - математик» Н. Винер, вспоминая события 1925 г., пишет: «По совету Куранта я отправился засвидетельствовать своё уважение Феликсу Клейну, который делил с Гильбертом славу самого выдающегося гёттингенского математика. Клейн уже очень ослабел, и все понимали, что дни его сочтены. Я всё - таки с радостью воспользовался представившимся случаем, чтобы познакомиться с ещё с одним представителем славного прошлого математической науки. Мой визит начался с грубого промаха. Увидев перед собой пожилую экономку, я спросил на самом изысканном немецком языке, на который я только был способен: «Ist der Herr Professor zu Hause?» - «Der Herr Geheimrat ist Hause» («Господин профессор дома?» - «Господин тайный советник дома») - ответила она, всем своим видом показывая, что я совершил бестактность, назвав тайного советника профессором. Титул «Geheimrat» означает для немецкого учёного приблизительно то же самое, что право именоваться «сэром» для англичанина; должен, однако, сказать, что в Англии мне не приходилось замечать, чтобы кто - либо придавал дворянскому званию такое значение, какое в Германии всегда придаётся титулу тайного советника.

Я поднялся наверх и нашёл Феликса Клейна в его кабинете - просторной комнате, где было много воздуха и света; вдоль стен стояли книжные шкафы, посередине - большой стол, на котором, разумеется, в странном беспорядке, лежали книги и раскрытые журналы.

Великий математик сидел в кресле с пледом на коленях. У него были тонкие изящные черты лица, как будто вырезанные рукой мастера, и борода. Когда я на него смотрел, мне казалось, что я вижу над его головой венец мудреца, а когда он произносил имя какого-нибудь замечательного математика прошлого, отвлечённое понятие «автор таких-то и таких-то работ» точно по мановению волшебной палочки превращалось в живое человеческое существо. Над самим Клейном время, казалось, больше не было властно - вокруг него всё дышало вечностью. Я слушал его с величайшим благоговением и по прошествии нескольких минут заметил, что уже прошу позволения удалиться, как будто я присутствовал на аудиенции при дворе».

• Будучи проницательным человеком, Клейн не мог не обратить внимания на счетные машины. Первые, примитивные, несовершенные. Жалкие арифмометры. Но он смотрел не на железо, он смотрел на суть, на дух. И поэтому именно он впервые осознал и донёс до следующих поколений учителей необходимость знакомства школьников с тогдашней вычислительной машиной.

• К середине XIX века геометрия разделилась на множество плохо согласованных разделов: евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, риманова, многомерная, комплексная и т. д.; на рубеже веков к ним добавились ещё псевдоевклидова геометрия и топология.

Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные групп преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований.

Например, классическая евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движениях без деформации; ей соответствует группа, содержащая вращения, переносы и их сочетания. Проективная геометрия может изучать конические сечения, но не имеет дела с кругами или углами, потому что круги и углы не сохраняются при проективных преобразованиях. Топология исследует инварианты произвольных непрерывных преобразований (кстати, Клейн отметил это ещё до того, как родилась топология).

Изучая алгебраические свойства групп преобразований, мы можем открыть новые глубокие свойства соответствующей геометрии, а также проще доказать старые. Пример: медиана есть аффинный инвариант; если в равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке, то и в любом другом это будет верно, потому что любой треугольник можно аффинным преобразованием перевести в равносторонний и обратно.

Как уже говорилось, Клейн высказал все эти идеи в выступлении 1872 года «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen» («Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований»), получившем название «Эрлангенской программы». Оно привлекло внимание математиков всей Европы тем, что не только давало новое представление о предмете геометрии, но и намечало ясную перспективу дальнейших исследований. На новом уровне повторилось открытие Декарта: алгебраизация геометрии позволила получить результаты, для старых инструментов крайне затруднительные или вовсе недостижимые. Влияние «Эрлангенской программы» на дальнейшее развитие геометрии было исключительно велико.

• В главной аудитории Математического института гёттингенского университета висит замечательный портрет основателя этого знаменитого научного и учебного заведения – математика и организатора науки Феликса Клейна. Портрет, написанный еще во времена Веймарской республики, пережил смену нескольких эпох.

В ноябре 1933 года над портретом сгустились тучи: изображенного на нем человека обвинили в самых страшных с точки зрения Третьего Рейха грехах. Через восемь лет после смерти великого ученого ему приписали организацию заговора с целью поставить немецкую науку на службу евреям. Обвинителем выступил профессор Дармштадского политехнического института Хуго Динглер, написавший на двадцати страницах меморандум «О господстве евреев в области математики и физики». Этот донос вместе с сопроводительным письмом нобелевского лауреата Филлипа Ленарда, отца так называемой «немецкой физики», адресован в баварское министерство культуры, откуда его быстро переправили для проверки и принятия мер в прусское министерство внутренних дел.

Динглер знал Клейна лично, так как слушал его лекции в Эрлангене, Гёттингене и Мюнхене. После нескольких неудачных попыток защитить вторую диссертацию, Динглеру удалось все же в 1932 году получить звание ординариуса по философии в Дармштадте. Через год он попытался вступить в национал-социалистическую партию, но не был принят, так как был замечен в различных махинациях, однако верность идеологии нацистов он сохранил до конца.

Портрет Клейна вряд ли остался висеть в университетской аудитории, если бы хоть одно подозрение в адрес покойного главы гёттингенской математической школы подтвердилось, ибо обвинялся он в очень серьезных преступлениях.

Автор доноса утверждал, что и сам Клейн «по крайней мере, с одной родительской стороны имеет еврейские корни». Захват точных наук начался, как считает Динглер, сразу после законодательного уравнивания евреев в правах с остальным населением Германии, т.е. после 1869 года. Лидером и организатором захвата, по Динглеру, являлся не кто иной, как Феликс Клейн.

(окончание следует)