Георгий Феодосьевич Вороной
Имя Г.Ф.Вороного навсегда вписано золотыми буквами в историю науки как одного из крупнейших математиков, хотя за свою короткую жизнь он опубликовал всего шесть мемуаров и шесть небольших заметок.
Наряду с Германом Минковским Вороной является создателем новой области математики – геометрии чисел, а знаменитые «диаграммы Вороного» стали геометрическим инструментом исследований в математике, физике, химии, геологии, кристаллографии.
Георгий Феодосьевич Вороной родился 16(28) апреля 1868 года в украинской семье в имении отца – в селе Журавка, расположенном в очень живописном уголке Полтавской губернии Российской империи (ныне Черниговской области Украины).
Отец Вороного получил филологическое образование в Киевском университете и преподавал русскую литературу в гимназии, работал директором гимназий в Бердянске, Кишиневе, Прилуках.
Свое школьное образование Георгий начал в Бердянске, а закончил в Прилукской гимназии в 1885 году. Он вёл дневник, из которого, в частности, видно, что его детство протекало в тёплой семейной атмосфере. У него было несколько серьезных увлечений: музыка (он играл на фортепьяно и флейте), шахматы, литература, самодеятельный театр, в котором он исполнял роли и ставил спектакли.
В гимназические годы у Георгия проявились незаурядные математические способности. Развитию его математического дарования содействовал учитель математики И. В. Богословский. В университете Вороной, как и все студенты того времени, был увлечён идеями и творчеством Л.Н.Толстого. Ему также нравились реалистичные описания русской жизни, которые он находил в
произведениях П.И.Мельникова-Печерского «В лесах» и «На горах».
В 1884 году профессор Киевского университета, известный математик В.П.Ермаков начал издавать «Журнал элементарной математики». В нём он предложил несколько тем для ученических работ по математике. На одну из них, а именно на тему «Разложение многочленов на множители, основанное на свойствах корней квадратных уравнений», была представлена
единственная работа. Её автором был Вороной. Работа понравилась Ермакову, и он опубликовал её в своем журнале в 1885 году. В том же году Вороной закончил гимназию и поступил в Петербургский университет.
Он приучился вставать около 5 утра и приступал к занятиям, которые продолжались до вечера. У Георгия была иголка, которой он укалывал себя, чтобы сбить усталость.
Материальной помощи, которую мог оказать отец, явно не хватало. А после выхода отца в отставку в 1887 году и эта помощь сократилась. Так как стипендию Вороной начал получать лишь на последнем курсе, то он был вынужден давать за небольшие деньги уроки. Уроки его выматывали, а тяжелые условия в общежитии дополнительно осложняли и отдых и занятия математикой.
«Постоянно усиливающаяся страсть к математике» захватила его всецело. В «моменты, когда ум охватывает идею, которая раньше как мячик ускользала, я забываю, что я существую», – записывает он в дневнике в 1887 году. Там же он писал: «моими последними успехами я обязан привычке мыслить без пера и бумаги. Все предложения, доказанные мною, возникали совершенно независимо. …Я надеюсь, что эта привычка мыслить таким образом сослужит мне службу».
Чтобы дополнительно развить математические способности, Георгий устраивал себе математический тренинг: последовательно решал трудные учебные задачи на вычисление сложных интегралов и симметрических функций, на интегрирование дифференциальных уравнений.
В Петербургском университете в то время действовала
математическая школа Пафнутия Львовича Чебышёва (1821–1894), знаменитая Петербургская школа теории чисел. Чебышёв и его выдающиеся ученики А.А.Марков (старший), А.М.Ляпунов, А.Н.Коркин и др. поддерживали очень высокий уровень математического образования в Петербургском университете.
Научным руководителем Вороного стал академик Андрей Андреевич Марков. Под его руководством Вороной исследовал бернуллиевы числа, названные так ещё в XVIII веке в честь представителя знаменитой математической династии Якова Бернулли. Бернуллиевы числа Bs вводятся рекуррентно и интересны, например, тем, что через них выражается сумма первых N натуральных чисел, возведённых в данную степень k.
Важность чисел Бернулли проявляется в разных областях математики: от теории чисел, где, например, Эйлер установил связь бернуллиевых чисел со значениями знаменитой - функции Римана при чётных значениях аргумента, до алгебраической топологии. Действительно, числа Бернулли вошли в топологию благодаря фундаментальным работам Ф.Хирцебруха, которые привели, в частности, к красивым результатам М.Кервера и Дж.Милнора о гомотопических группах сфер. Изучению свойств этих чисел посвящено много работ известных математиков.
Работа Вороного о бернуллиевых числах очень понравилась Маркову, и он рекомендовал её к опубликованию. Статья «О числах Бернулли» вышла в «Сообщениях Харьковского математического общества» в 1890 году, через год после окончания университета. По результатам этих исследований Вороной защитил кандидатскую диссертацию (аналог нынешней дипломной работы) и был оставлен при университете «для подготовки к профессорскому званию» (соответствует нынешней аспирантуре).
К этому времени Вороной сложился в профессионального математика, сосредоточившего свои усилия на теории чисел.
После окончания университета Вороной начинает исследования по теории алгебраических чисел Число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами Интерес к теории алгебраических чисел во многом был вызван её связью с важным классом диофантовых уравнений (уравненние вида, для которого ищутся решения в целых или рациональных числах, называется диофантовым).
В случае n = 2 такие уравнения были полностью исследованы в работах великих математиков Эйлера, Лагранжа и др. Случай n = 3 в конце XIX века оставался почти неизученным. Вороной начал исследование алгебраических чисел степени n = 3. Магистерская диссертация Вороного (аналог нынешней кандидатской диссертации) «О целых алгебраических числах, зависящих от корня неприводимого уравнения 3-й степени» содержала первые результаты, полученные автором по данной теме, и была успешно защищена в Петербургском университете в 1894 году.
После защиты Вороной был назначен профессором математики Императорского Варшавского университета. В то время (после Венского конгресса 1815 года и вплоть до 1915 года) Польша входила как Царство Польское в состав Российской империи.
В университете Вороной читал курсы по основным математическим предметам. Одним из его учеников был выдающийся польский математик Вацлав Серпинский (1882–1969), которому принадлежит много достижений в разных областях математики. В частности, Серпинский выполнил под руководством Вороного работу по аналитической теории чисел.
Вороной продолжил исследования по теории алгебраических чисел 3-й степени. Он построил эффективный алгоритм для вычисления так называемых основных единиц кубического поля. Это был очень сильный результат,
поскольку знаменитая теорема Дирихле о единицах утверждала, что основные единицы в алгебраическом поле существуют, однако она не давала никакого пути для их нахождения.
Алгоритм нахождения основных единиц для кубических полей, построенный Вороным, настолько поразил А.А.Маркова, что он послал Вороному телеграмму в Варшаву с просьбой срочно приехать в Петербург. Вороной так и поступил. Как только он появился в кабинете своего научного руководителя, ему тут же предложили найти основные единицы для одного частного случая, для которого Маркову самому удалось найти их при помощи весьма сложных вычислений. Марков был восхищен, когда Вороному понадобилось всего три часа, чтобы посредством своего алгоритма решить задачу.
Замечательные результаты Вороного по этой теме были описаны в его докторской диссертации, блестяще защищенной в 1897 году. В этой диссертации, как писал Б.Н.Делоне, Вороной «мыслил геометрически, но вынужден был переводить ход своих рассуждений на арифметический язык». Парадоксально, но факт: руководители Петербургской школы теории чисел и особенно Марков, основной оппонент по диссертации, не принимали геометрический характер изложения, и диссертацию, написанную на геометрическом языке, могли и не пропустить.
Петербургская академия наук отметила цикл работ Вороного по алгебраической теории чисел престижной премией имени В.Я.Буняковского.
Впоследствии алгоритм Вороного активно использовал Б.Н.Делоне в своих знаменитых исследованиях по диофантовым уравнениям третьей степени.
Борис Николаевич Делоне (1890–1980) был наиболее последовательным продолжателем Вороного. Делоне не был и не мог быть его непосредственным учеником, поскольку Вороной умер в 1908 году, в том самом году, когда Борис Делоне поступил в Киевский университет. Тем не менее, Делоне близко знал Вороного. Дело в том, что Вороной познакомился и подружился с его отцом, профессором математики и механики Николаем Борисовичем Делоне, работавшим с 1900 по 1904 годы в Варшавском политехническом институте. Борис Николаевич любил вспоминать, как Вороной приходил к ним на ужин и допоздна засиживался за беседой с его отцом. А он, десятилетний мальчик, лежа в кровати, прислушивался к беседе, доносившейся из гостиной в его комнату через слегка неприкрытую дверь...
В конце ХХ века имена Вороного и Делоне навсегда вошли в математику, более того, они оказались неразрывно связанными. Это так называемые диаграммы Вороного и триангуляции Делоне – понятия, важные в самых разных областях науки и её приложений.
После исследований по теории алгебраических чисел Вороной опубликовал в 1903 году большую работу по аналитической теории чисел, посвященную задаче о делителях, поставленной Дирихле. Эта задача получила название проблемы целых точек под гиперболой.
Эта работа Вороного оказала влияние на творчество ряда замечательных математиков, в частности Ивана Матвеевича Виноградова, в будущем основателя и директора Математического института имени В.А.Стеклова. А ученик Вороного Серпинский успешно применил его метод к другой классической задаче о числе целых точек в круге.
Геометрическая теория чисел – наука, которой Георгий Феодосьевич посвятил самые глубокие свои работы. Одна из них – о плотнейших упаковках шаров в многомерных пространствах – появилась на последнем году жизни. Другая – по теории параллелоэдров – была опубликована уже посмертно.
В 1904 году в живописном немецком городе Гейдельберге состоялся третий Международный конгресс математиков. На этот конгресс пригласили выступить с докладом и Вороного, и Германа Минковского (1864–1909, место рождения – Алексоты, пригород Каунаса в Литве ), одного из крупнейших геометров XIX века. «Приглашенный доклад» на международном конгрессе – это очень престижное предложение, которого удостаиваются математики, добившиеся выдающихся результатов.
Минковский за 8 лет до этого, в 1896 году, опубликовал знаменитую работу «Геометрия чисел» (по-немецки «Geometrie der Zahlen»), в которой заложил основы новой области математики – геометрии чисел. Основная идея этой науки, находящейся на стыке геометрии и теории чисел, состоит в том, что в теории чисел есть немало задач, которые можно переформулировать на геометрическом языке, после чего задача становится более прозрачной и появляется возможность применять геометрические методы для её решения.
Самая известная, пожалуй, геометрическая теорема, которая помогает решать задачи по теории чисел, – это теорема Минковского о центрально – симметричном выпуклом теле (фигуре): пусть центр симметрии O расположен в точке решетки, а площадь фигуры не меньше 4 ; тогда внутри или на границе фигуры содержится хотя бы одна пара симметричных относительно O точек решетки, отличных от точки О. Теорема Минковского верна для любой размерности.
Вороной и Минковский встретились и беседовали во время конгресса. Борис Николаевич Делоне слышал от отца, который тоже был приглашён на этот конгресс, что Минковский отнесся к Вороному и его работам с огромным интересом и величайшим уважением.
Геометрия чисел по духу была близка Вороному всегда: вспомним слова Делоне о том, что Вороной мыслил геометрически.
В 1908 году по окончании работы над мемуаром по теории параллелоэдров Вороной писал, что работать над ним он начал лет за 12 до того, т.е. в то время, когда Минковский работал над своей «Геометрией чисел». Но полностью он переключился на геометрию чисел лишь после 1904 года.
Вороной создал важный метод в геометрии чисел – геометрию положительных квадратичных форм и применил её к решению двух труднейших проблем: проблемы нахождения плотнейшей упаковки пространства равными шарами и проблемы отыскания параллелоэдров в пространствах произвольной размерности.
Одна из центральных задач всей геометрии чисел: как найти самую плотную решётчатую упаковку многомерного пространства равными шарами. Кстати, эта задача, известная для плоскости и пространства ещё со времён Древней Греции, является актуальной и для больших размерностей из-за её связи с задачами кодирования.
Начиная с работы великого К.Ф.Гаусса вплоть до нашего времени плотнейшие решётчатые упаковки были найдены только для размерностей не больше 8 и для размерности 24. К сожалению, методы нахождения плотнейших упаковок в пространствах малых размерностей перестают «работать» для больших размерностей. Интуиция, выработанная в трёхмерном пространстве, оказывается бессильной по отношению к этой задаче для пространств больших размерностей.
Максимальная плотность упаковки пространства шаров убывает в зависимости от размерности пространства. Так, на плоскости максимальная плотность упаковки кругов равна 0,9069... В трёхмерном пространстве максимальная плотность упаковки шаров равна 0,7404..., в 8-мерном – 0,2536... В 24-мерном пространстве максимальная плотность упаковки – только 0,0019!.. Другими словами, никакая упаковка 24-мерных шаров не может занимать даже 0,2% пространства!
Вороному удалось создать метод нахождения плотнейшей решетчатой упаковки d-мерного пространства равными шарами для любой размерности.
Хотя применение метода Вороного для больших размерностей связано с огромными вычислениями, которые трудно реализовать даже на современных вычислительных машинах, метод Вороного был и остается единственным методом решения этой задачи, который годится для пространств любой размерности.
Последний мемуар Вороного, как было сказано, посвящен теории параллелоэдров. Параллелоэдр – это выпуклый многогранник, копиями которого, прикладываемыми друг к другу по целым граням, можно заполнить пространство без пропусков и попарных перекрытий. При этом предполагается, что параллелоэдры не только конгруэнтны, но и параллельны друг другу, т.е. получаются друг из друга параллельными переносами.
В силу параллельности многогранников друг другу и их прилегания по целым граням, каждая грань параллелоэдра имеет равную и параллельную ей противоположную грань. Отсюда и название параллелоэдр, то есть параллелогранник, которое дал им великий кристаллограф Евграф Степанович Федоров (1857–1919). Федоров начал изучать параллелоэдры в 1885 году из-за их значимости в кристаллографии. Действительно, разбиение пространства на параллелоэдры хорошо моделирует структуру кристалла, которая, как известно, периодическая в трех измерениях.
Двумерный аналог параллелоэдров называют параллелогоном. Параллелогон – это выпуклый многоугольник, параллельными копиями которого можно замостить плоскость, прилагая их друг к другу по целым сторонам. Поэтому параллелогон – это многоугольник с чётным числом сторон, у которого каждая сторона имеет равную и параллельную пару.
Параллелогон, как легко показать, является центрально-симметричным многоугольником с четырьмя сторонами (т.е. параллелограммом) или с шестью сторонами. Легко видеть, что верно и обратное: любой центрально-симметричный многоугольник одного из этих двух типов (четырехугольник или шестиугольник) является параллелогоном.
Все типы трехмерных параллелоэдров, а их оказалось пять, были найдены Федоровым. Как показали российские математики А.Д.Александров (1912–1999) и Б.А.Венков (1900–1964), каждый тип помимо указанного параллелоэдра содержит многогранники, устроенные точно так же, как и указанный представитель, у которых все грани центрально-симметричны.
При выводе всех пяти типов параллелоэдров Федоров предполагал, что параллелоэдр – обязательно центрально-симметричный. Несмотря на имевшиеся аргументы в пользу этого предположения, строгого доказательства у Федорова не было. В отличие от двухмерного случая, доказательство центральной симметричности трёхмерного параллелоэдра не так просто.
Г.Минковский после работы Федорова о параллелоэдрах заинтересовался этим классом многогранников, причём произвольной размерности. Попытка доказать центральную симметричность параллелоэдра привела Минковского к открытию одной из самых прекрасных теорем в теории выпуклых многогранников – теоремы о существовании и единственности выпуклого многогранника с данными направлениями граней и их площадями. Из этой сложно доказываемой теоремы Минковский легко вывел следующие первые
два свойства параллелоэдров, к которым позже было добавлено третье (Б.Н.Делоне):
1) параллелоэдр – центрально-симметричный многогранник;
2) все грани параллелоэдра – центрально-симметричные многоугольники;
3) проекция параллелоэдра вдоль любого его ребра на перпендикулярную к нему плоскость есть либо параллелограмм, либо центрально-симметричный шестиугольник.
Значительно позже, в 1954 году, Б.А.Венков доказал, что эти три условия
являются не только необходимыми, но и достаточными.
Как устроены параллелоэдры в пространствах произвольной размерности?
Именно этой проблеме был посвящён последний мемуар Вороного. В нём Георгий Феодосьевич построил теорию параллелоэдров особого вида, называемых теперь параллелоэдрами Вороного.
Существует гипотеза: найдётся преобразование, которое переводит данный параллелоэдр в некоторый параллелоэдр Вороного. Если гипотеза подтвердится, то метод Вороного, при помощи которого можно перечислить все типы параллелоэдров Вороного, решает также вопрос и о перечислении типов всех параллелоэдров вообще. Однако, несмотря на усилия многих математиков, проблема остается нерешенной.
Последние 4 года этого периода Вороной посвятил труднейшим задачам геометрии чисел. Одна из них – задача нахождения плотнейшей упаковки пространства равными шарами. Другая – задача нахождения всех параллелоэдров – многогранников, которые заполняют пространство своими копиями, расположенных параллельно друг другу. Именно здесь, на геометрическом направлении, Вороной получает свои самые интересные и глубокие результаты.
В Варшавском университете Вороной проработал с 1894 года до конца жизни с небольшим перерывом. В связи с революционными волнениями 1905–1907 годов Варшавский университет был закрыт, и Вороной был направлен на работу в Новочеркасск, в только что организованный там Донской политехнический институт, где в 1907/08 учебном году был деканом
факультета механики.
В 1907 году за выдающиеся научные достижения Вороной был избран членом-корреспондентом Петербургской академии наук.
Г.Ф.Вороной был женат на Ольге Митрофановне Крицкой, девушке из дворянской семьи, чье имение Богданы находилось поблизости от его Журавки. Ольга была его большая и единственная любовь. У них было шестеро детей.
Помимо своей многочисленной семьи, Вороной заботился также о семье рано овдовевшей сестры с семью детьми. Все дети Георгия Феодосьевича получили хорошее образование и стали врачами, учителями. Младший сын Юрий Георгиевич Вороной (1896–1961), хирург, доктор медицинских наук, прославился тем, что в 1933 году сделал первую в мире пересадку почки.
Г.Ф.Вороной не отличался крепким здоровьем, в последние годы страдал от прогрессирующей болезни желчного пузыря. Интенсивная научная и преподавательская работа усугубляла болезнь. В последний год жизни врачи настаивали на отдыхе. Вороной и сам отчетливо понимал, что напряженная работа отрицательно сказывается на здоровье, но оставить исследования было выше его сил. «Только моя жена знает, что математика является для меня главной целью жизни, она для меня – всё», – записал он в дневнике.
Лето 1908 года он провёл в родной Журавке, несмотря на рекомендации врачей поехать на лечение в Карлсбад. К началу учебного года ему становится легче, и он возвращается в Варшаву. В начале сентября пишет, как оказалось, последнее письмо академику В.А.Стеклову, в котором кратко сообщает о своих исследованиях по теории параллелоэдров, а также выражает желание перейти в Петербургский университет.
Однако в октябре наступило резкое обострение болезни. В последний месяц жизни, страдая от болей, прикованный к постели, Вороной сумел записать «Заметки по поводу последней теоремы Ферма».
Через две недели, 7(20) ноября 1908 года, в возрасте сорока лет Георгий Феодосьевич Вороной скончался. Похоронен по завещанию в его любимой Журавке.
